Number Theory

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By Daniel Plaumann

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ANWENDUNGEN 55 umsortieren und skalieren, dass mj g j ∈ k[x j , . . , x n ] und LM(g j ) = x j für j = , . . , n und gewisse m , . . , m n ⩾  gilt. 19). Mit anderen Worten, die Variablen sind in den ersten n Gleichungen ’dreiecksförmig’ verteilt: g (x , . . , x j , x j+ , . . , x n ) =  ⋮ g j (x j , x j+ , . . , x n ) =  ⋮ g n (x n ) = . Im Prinzip können wir das Gleichungssystem damit durch Rückeinsetzung lösen, genauso wie in der linearen Algebra: Als erstes lösen wir die letzte Gleichung, in der nur die Variable x n vorkommt.

Er ist in Singular inzwischen implementiert, nicht jedoch in Macaulay. 4. 11. Es sei I ein Hauptideal im Polynomring k[x , . . , x n ]. Zeigen Sie, dass jede endliche Teilmenge von I, die einen Erzeuger von I enthält, eine Gröbnerbasis ist. 12. Beweisen Sie folgende Umkehrung von Kor. 17. Sei G ⊂ k[x , . . , x n ] eine endliche Teilmenge, I = ⟨G⟩. Falls jedes Element von I modulo G zu  reduziert, so ist G eine Gröbnerbasis von I. 13. Verwenden Sie das Buchberger-Kriterium, um zu entscheiden, ob die folgenden Mengen von Polynomen in k[x, y, z] Gröbnerbasen sind.

10 einfach die übliche Division mit Rest für Polynome in einer Variablen. Bekanntlich ist die Darstellung f = q g + r in diesem Fall eindeutig. Im allgemeinen ist diese Eindeutigkeit aber nicht mehr gegeben, noch nicht einmal für n = : Sei g = x und g = x −  in k[x], dann hat f = x die beiden Darstellungen f =  ⋅ x + (x − ) +  =  ⋅ x + (x − ) + , 44 2. GRÖBNERBASEN die beide die Eigenschaften (1) und (2) erfüllen. Nicht nur die Darstellungen, auch die beiden Standardreste sind verschieden.

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Algebraische Geometrie by Daniel Plaumann

by Kenneth

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