Calculus

Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer by Otto Forster PDF

By Otto Forster

ISBN-10: 3658003162

ISBN-13: 9783658003166

ISBN-10: 3658003170

ISBN-13: 9783658003173

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am laptop nachvollzogen werden können. Die vorliegende eleven. Auflage wurde um einige Aufgaben und Beispiele erweitert.

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Wir wollen deshalb zeigen, dass es zu einer sehr anschaulichen Aussage, n¨amlich dem Intervallschachtelungs-Prinzip, a¨ quivalent ist. Sind a b reelle Zahlen, so versteht man unter dem abgeschlossenen Intervall mit Endpunkten a und b die Menge aller Punkte auf der reellen Zahlengeraden, die zwischen a und b liegen, wobei die Endpunkte mit eingeschlossen seien: [a, b] := {x ∈ R : a x b}. Die L¨ange (oder der Durchmesser) des Intervalls wird durch diam([a, b]) := b − a definiert. Damit k¨onnen wir formulieren: Intervallschachtelungs-Prinzip.

Aus dem allgemeinen Kommutativgesetz kann man folgende Regel f¨ur Doppelsummen ableiten: n m n m ∑ ∑ ai j = ∑ ∑ ai j . + m ∑ an j j=1 § 2 Die K¨orper-Axiome 22 = (a11 + a12 + . . + a1m ) + . . + (an1 + an2 + . . + i=1 i=1 = (a11 + a21 + . . + an1 ) + . . + (a1m + a2m + . . + anm ) . Es kommen also in beiden F¨allen alle nm Summanden a i j , 1 1 j m, vor, nur in anderer Reihenfolge. 10) beweist man n ∑ xi i=1 m ∑ yj j=1 n =∑ m ∑ xiy j . i=1 j=1 Potenzen Ist x eine reelle Zahl, so werden die Potenzen xn f¨ur n ∈ N durch Induktion wie folgt definiert: x0 := 1, xn+1 := xn x f¨ur alle n 0.

Da lim(1/n) = 0, folgt aus Satz 1 − 2/n2 3, dass lim(1/n2) = 0. Aus dem Corollar zu Satz 3 folgt nun 13 2 lim(3 + ) = 3, und lim(1 − 2 ) = 1 . n n Mit Satz 4 erh¨alt man schließlich 3n2 + 13n lim(3 + 13 3 n) = lim = = 3. n→∞ n2 − 2 lim(1 − 22 ) 1 F¨ur n > 0 kann man schreiben an = n Satz 5 (Gr¨oßenvergleich konvergenter Folgen). Seien (an ) und (bn ) zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit an bn f¨ur alle n. Dann gilt auch lim an n→∞ lim bn . n→∞ Vorsicht! Wenn an < bn f¨ur alle n, dann ist nicht notwendig lim a n < lim bn , wie man an dem Beispiel der Folgen an = 0 und bn = 1n , (n 1), sieht, die beide gegen 0 konvergieren.

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Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen by Otto Forster


by Robert
4.1

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