Calculus

Analysis Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von by Ehrhard Behrends PDF

By Ehrhard Behrends

ISBN-10: 3658071222

ISBN-13: 9783658071226

ISBN-10: 3658071230

ISBN-13: 9783658071233

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Dann w¨ urde durch Multiplikation dieser Ungleichung mit x > 0 mit Hilfe von (iii) auch 1 < 0 folgen, was wegen (vii) nicht m¨oglich ist. Auch x−1 = 0 scheidet aus, denn das liefert nach Multiplikation mit x den Widerspruch 1 = 0. Fazit: Es bleibt nur x−1 > 0 u ¨brig. Der zweite Teil der Aussage wird genauso bewiesen. (ix) Da muss man nur den Fall =“ jeweils noch extra diskutieren, als Beispiel ” betrachten wir die Aussage (iv). Gilt da x = y, so ist sicher auch x + z = y + z. 36 KAPITEL 1. DIE MENGE R DER REELLEN ZAHLEN Kurz: Die Aussage bleibt richtig, wenn es ≤ statt < heißt.

F¨ ur x−1 (das wegen M3 existiert), gibt es zwei M¨oglichkeiten, es kann gleich Null oder von Null verschieden sein. Wenn wir also unter p bzw. q die Aussage x−1 = 0“ bzw. x−1 = 0“ verstehen, ” ” so ist p ∨ q ganz bestimmt eine wahre Aussage. Und q kann beim besten Willen nicht wahr sein, denn in diesem Fall w¨ are 1 = x−1 · x = = 0·x 0 (ii) im Widerspruch zu unserer Forderung 1 = 0. (vi) Der Beweis ist sehr elegant, wenn man (iii) verwendet. Man schaue sich die Gleichung x + (−x) = 0 an, die ja nur die Definition von −x wiedergibt.

Es reicht also, (xy)(x−1 y −1 ) = 1 zu zeigen, und das folgt unmittelbar aus M1 und M3: (xy)(x−1 y −1 ) M1 (xx−1 )(yy −1 ) M3 1·1 1. ) (x) Wieder ist nur (iv) anzuwenden, f¨ ur den Nachweis der ersten Gleichung ist auch (iv) (vi) (−1)(−1) = −(−1) = 1 zu beachten. K¨onnen Sie die Einzelheiten, die zu einem vollst¨ andigen Beweis noch fehlen, selber erg¨anzen? Bemerkungen: ¨ 1. Bitte merken Sie sich f¨ ur die Beweise, die Sie in den Ubungen selbst f¨ uhren sollen: Bei jedem Beweisschritt ist klarzustellen, warum das Verfahren legitim ist.

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Analysis Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni. Von Studenten mitentwickelt by Ehrhard Behrends


by Ronald
4.2

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